Question

己知奇函数f(x)的定义域为（－∞,0）∪（0,+∞），且f(x)在（0,+∞）上是增函数，f(1)=0.函数g(x)= －x²+mx+1－2m,x∈[0,1].

(1)   证明：函数f(x)在（－∞,0）上是增函数；

(2)   解关于x的不等式f(x)<0;

(3)   当x∈[0,1]时，求使得g(x)<0且f[g(x)]<0恒成立的m的取值范围.

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：任取x1,x2∈（（－∞,0）），且x1<x2,则－ x1,－x2∈（0,+∞），且－ x1>－x2. ∵f(x)是奇数， ∴f(－x1)=－f(x1),f(－x2)=－f(x2)      ① 又f(x)在（0,+∞）上是增函数， ∴f(－x1)>f(－x2). 　　　　　　　② 由①、②得－f(x1)>－f(x2),即f(x1)<f(x2). 故函数f(x)在（－∞,0）上是增函数. （2）∵奇函数f(x)满足f(1)=0,且f(x)在（0,+∞）上是增函数， ∴若x>0,f(x)<0,得f(x)<f(1),因而0<x<1. 同理可求在x∈（－∞,0）上，若f(x)<0,则x<－1. 综上，使f(x)<0的x的取值范围是（－∞,－1）∪（0,1）. （3）由（2）知，f[g(x)]<0,即g(x)<－1或0<g(x)<1. ∴依题是或 即g(x)<－1. 因此，所求m的范围就是关于x的不等式g(x)<－1,对任意x∈[0,1]恒成立时的m的取值范围. 由g(x)<－1,得－x2+mx+1－2m<－1, 即m> =－[(2－x)+ ]+4. ∵（2－x）+≥2. ∴－[(2－x)+ ]+4≤4－2. 当且仅当2－x=，即x=2－.时，等号成立. 从而得出m>4－2.