Question

已知下列五个命题
①若b²=ac，则a，b，c成等比数列；
②若{a_n}是等比数列，且Sn=3 n+1+r，则r=-1；
③若数列{b_n}的前n项和S_n=n²+2n+1，则数列{b_n}从第二项起成等差数列；
④已知

2

x

+

3

y

=2，(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是6．
⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
请把正确的命题的题号都填在后面的横线上

③④⑤

．

Answer 1

分析：对于①可以举一个反例，满足b²=ac，但a、b、c不成等比数列；
根据a_n=S_n-S_n-1求得数列的通项公式，进而求得a₁，根据a₁=S₁求得r，可判断②的真假；
根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，n=1时，a₁=S₁，求出数列的通项公式，结合等差数列的定义可判断③的真假；
利用基本不等式可判断④的真假；
根据正弦定理，可判断⑤的真假

解答：解：①中，若b=0，a=2，c=0，满足b²=ac，但a、b、c显然不成等比数列，故①错；
②中，∵S_n=3ⁿ⁺¹+r，S_n-1=3ⁿ+r，（n≥2，n∈N⁺），
∴a_n=S_n-S_n-1=2•3ⁿ，又a₁=S₁=9+r，
由通项得：a₂=18，公比为3，∴a₁=6，∴r=-3，故②错；
③中S_n=n²+2n+1，∴当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2n+1，但b₁=4不符合b_n=2n+1
故数列{b_n}从第二项起成等差数列，正确；
④中∵x＞0，y＞0，且

2

x

+

3

y

=2
∴

2

x

+

3

y

=2≥2

6 xy

即

6

xy

≤1，xy≥6，故④正确；
⑤中，∵A＞B，∴a＞b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB，故⑤正确
故答案为：③④⑤

点评：本题主要考查了等差数列的定义和等差数列的通项公式的应用．考查了学生对等差数列的基础知识的综合运用．