题目内容

设函数 $数学公式$ 的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数 $数学公式$ 为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（-1）=0；②对一切实数x，不等式 $数学公式$ 恒成立．
（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
（Ⅱ）求证： $数学公式$ （n∈N^*）．

解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax²+bx+c．…（1分）
由 $\text{[math]}$ 为偶函数，得 $\text{[math]}$ 为偶函数，显然有 $\text{[math]}$ ．…（2分）
又k（-1）=0，所以a-b+c=0，即 $\text{[math]}$ ．…（3分）
又因为 $\text{[math]}$ 对一切实数x恒成立，
即对一切实数x，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立．…（4分）
显然，当 $\text{[math]}$ 时，不符合题意．…（5分）
当 $\text{[math]}$ 时，应满足 $\text{[math]}$ ，
注意到 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．…（7分）所以 $\text{[math]}$ ． …（8分）
（Ⅱ）证明：因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．…（9分）
要证不等式 $\text{[math]}$ 成立，
即证 $\text{[math]}$ ．…（10分）
因为 $\text{[math]}$ ，…（12分）
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ 成立．…（14分）
分析：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x），根据g（x）的奇偶性求出b，根据k（-1）=0，求出 $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ 对一切实数x恒成立，解得a、c的值，即得函数k（x）的表达式．
（Ⅱ）根据 $\text{[math]}$ ，即证 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立．
点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的恒成立问题，利用导数研究曲线在某点的切线斜率，以及用裂项法对数列进行
求和，属于难题．