题目内容
设函数
的图象在点(x,f(x))处的切线的斜率为k(x),且函数
为偶函数.若函数k(x)满足下列条件:①k(-1)=0;②对一切实数x,不等式
恒成立.
(Ⅰ)求函数k(x)的表达式;
(Ⅱ)求证:
(n∈N*).
解:(Ⅰ)由已知得:k(x)=f'(x)=ax2+bx+c.…(1分)
由
为偶函数,得
为偶函数,显然有
.…(2分)
又k(-1)=0,所以a-b+c=0,即
.…(3分)
又因为
对一切实数x恒成立,
即对一切实数x,不等式
恒成立.…(4分)
显然,当
时,不符合题意.…(5分)
当
时,应满足
,
注意到
,解得
.…(7分) 所以
. …(8分)
(Ⅱ)证明:因为
,所以
.…(9分)
要证不等式
成立,
即证
.…(10分)
因为
,…(12分)
所以
=
.
所以
成立.…(14分)
分析:(Ⅰ)由已知得:k(x)=f'(x),根据g(x)的奇偶性求出b,根据k(-1)=0,求出
,再由
对一切实数x恒成立,解得a、c的值,即得函数k(x)的表达式.
(Ⅱ)根据
,即证
,把
代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立.
点评:本题主要考查函数的奇偶性的应用,函数的恒成立问题,利用导数研究曲线在某点的切线斜率,以及用裂项法对数列进行
求和,属于难题.
由



又k(-1)=0,所以a-b+c=0,即

又因为

即对一切实数x,不等式

显然,当

当


注意到



(Ⅱ)证明:因为


要证不等式

即证

因为

所以


所以

分析:(Ⅰ)由已知得:k(x)=f'(x),根据g(x)的奇偶性求出b,根据k(-1)=0,求出


(Ⅱ)根据



点评:本题主要考查函数的奇偶性的应用,函数的恒成立问题,利用导数研究曲线在某点的切线斜率,以及用裂项法对数列进行
求和,属于难题.

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