题目内容
如图,灌溉渠的横截面是等腰梯形,底宽2米,边坡的长为x米、倾角为锐角α.
(1)当

且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时,求x的最小正整数值;
(2)当x=2时,试求灌溉渠的横截面面积的最大值.
【答案】
分析:(1)根据题意可分别表示出梯形的高和上底长,进而可求得横截面的面积的表达式,把

代入S的解析式,利用二次函数的性质判断其单调性,进而推断x=2和x=3时S的值,求得x的最小正整数值.
(2)把x代入S的解析式中通过对S的函数进行求导,判断S的单调性进而推断出S的最大值.
解答:解:由已知得等腰梯形的高为xsinα,上底长为2+2xcosα,
从而横截面面积S=

(2+2+2xcosα)•xsinα=x
2sinαcosα+2xsinα.
(1)当

时,面积

是(0,+∞)上的增函数,
当x=2时,S=3

<8;当x=3时,S=

.
所以,灌溉渠的横截面面积大于8平方米时,x的最小正整数值是3.
(2)当x=2时,S=4sinαcosα+4sinα,S'=4cos
2α-4sin
2α+4cosα
=4(2cos
2α+cosα-1)=4(2cosα-1)•(cosα+1),
由S′=0及α是锐角,
得

.当0<α<

时,S′>0,S是增函数;
当

<α<

时,S′<0,S是减函数.所以,当α=

时,S有最大值

.
综上所述,灌溉渠的横截面面积的最大值是

.
点评:本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型.考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力.
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