Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y²＝4x的焦点F交抛物线于A、B两点．
(1) 若=8，求直线l的斜率
(2)若=m,=n.求证为定值

Answer 1

（1）k=1或-1（2）="1"

分析：
（1）求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设直线l方程为：y=k（x-1），代入y²=4x得[k（x-1）]²=4x，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求直线l的斜率
（2）由（1）知，|AF|=m=x₁+1，|BF|=n=x₂+1，表示出1/m+1/n。利用韦达定理代入化简即可得出结论。
解答：
（1）解：抛物线的焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=-1
设直线l方程为：y=k（x-1），代入y²=4x得[k（x-1）]²=4x，即k²x²-（2k²+4）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2k²+4/ k²，x₁x₂=1
∵|AB|=8，∴x₁+x₂+2=8
∴2k²+4/ k²=6，∴k²=1
∴k=1或-1。
（2）证明：由（1）知，|AF|=m=x₁+1，|BF|=n=x₂+1。
∴1/m+1/n=（1/ x₁+1）+（1/ x₂+1）=（x₁+1+x₂+1）/[(x₁+1)(x₂+1)]= （x₁+x₂+2）/[(x₁+x₂)+x₁x₂+1]
∵x₁+x₂=2k²+4/ k²，x₁x₂=1
∴（x₁+x₂+2）/[(x₁+x₂)+x₁x₂+1]=1
∴1/m+1/n=1，为定值。
点评：本题重点考查抛物线的标准方程，考查抛物线过焦点的弦，利用抛物线的定义，正确运用韦达定理是解题的关键。