Question

(14分)已知圆O:交轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F,若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆O相切；

(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),

直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.

Answer 1

(14分)解:(Ⅰ)因为,所以c=1,则b=1,

所以椭圆C的标准方程为         ………5分

(Ⅱ)∵P(1,1),∴,∴,∴直线OQ的方程为y=-2x, ∴点Q(-2,4)…7分

∴,又,∴,即OP⊥PQ,故直线PQ与圆O相切   ……10分

(Ⅲ)当点P在圆O上运动时,直线PQ与圆O保持相切                   ………11分

证明:设(),则,所以,,

所以直线OQ的方程为         所以点Q(-2,)     ………12分

所以,又  ……13分

所以,即OP⊥PQ,故直线PQ始终与圆O相切.            ………14分