Question

使用计算器或计算机，用二分法求函数f(x)=x⁵-x³-5x²+5的无理零点（精确到0.01）.

Answer 1

解析:求函数的无理零点或求方程的无理根问题可以通过因式分解，发现其有理根，然后转化为求另一函数的无理零点的问题，再利用二分法求其零点的近似值.

解：因为x⁵-x³-5x²+5=x³(x²-1)-5(x²-1)=(x+1)(x-1)(x³-5)，

    所以已知函数的零点是-1，1，，其中x=是它的一个无理零点.

    不妨设g(x)=x³-5，由于g(1)=-4＜0,g(2)=3＞0，可取区间［1,2］作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

端点（中点）坐标	计算中点的函数值	取区间
g（1）＜0	g（2）＞0	［1，2］
x1==1.5	g（x1）=-1.625＜0	［1.5，2］
x2==1.75	g（x2）=0.359 4＞0	［1.5，1.75］
x3==1.625	g（x3）=-0.709 0＜0	［1.625，1.75］
x4==1.687 5	g（x4）=-0.194 6＜0	［1.687 5，1.75］
x5==1.718 8	g（x5）=0.077 4＞0	［1.687 5，1.718 8］
x6==1.703 2	g（x6）=-0.059 6＜0	［1.703 2，1.718 8］
x7==1.711	g（x7）=0.010＞0	［1.703 2，1.711］
x8==1.714 9	g（x8）=0.043 3＞0

    由上表计算可知，区间［1.703 2，1.711］的长度小于0.01，所以该区间的中点x₈≈1.71，即为函数f（x）=x³-5的一个无理零点近似值.