Question

设函数是R上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，，则f(7.5)的值为________.

Answer 1

思路分析：考查函数的奇偶性与周期性及函数解析式的求法.

方法一：若x∈［-1,0］，则-x∈［0,1］，则f(-x)=-x=-f(x)，所以，当x∈［-1,0］时，f(x)=x.

由f(x+2)=-f(x)可得f(x+4)=f(x)，则函数是以4为周期的周期函数.

设x∈［7,8］，则x-8∈［-1,0］，所以f(x-8)=x-8=f(x)，

即当x∈［7,8］时，f(x)=x-8.

所以f(7.5)=7.5-8=-0.5.

方法二：由f(x+2)=-f(x)可得f(x+4)=f(x)，则函数是以4为周期的周期函数.

所以f(7.5)=f(7.5-8)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.

答案：-0.5