题目内容
已知两个正实数x，y满足x+y=4，则使不等式
+
≥m恒成立的实数m的取值范围是（ ）
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
分析：将不等式恒成问题转化为求
+
的最小值，利用“1”的代换的思想和基本不等式，即可求得
+
的最小值，从而求得实数m的取值范围．
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
解答：解：∵不等式
+
≥m对两个正实数x，y恒成立，即（
+
）min≥m，
∵x+y=4，即
+
=1，
又∵x＞0，y＞0，
∴
+
=（
+
）（
+
）=
+
+
≥2
+
=1+
=
，
当且仅当
=
，即x=
，y=
时取“=”，
∴（
+
）min=
，
∴m≤
，
∴实数m的取值范围是（-∞，
]．
故选：D．
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
∵x+y=4，即
| x |
| 4 |
| y |
| 4 |
又∵x＞0，y＞0，
∴
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
| x |
| 4 |
| y |
| 4 |
| y |
| 4x |
| x |
| y |
| 5 |
| 4 |
|
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
当且仅当
| y |
| 4x |
| x |
| y |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
∴（
| 1 |
| x |
| 4 |
| y |
| 9 |
| 4 |
∴m≤
| 9 |
| 4 |
∴实数m的取值范围是（-∞，
| 9 |
| 4 |
故选：D．
点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．涉及了不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．
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