Question

如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点，cos＜

DP

，

AE

＞=

3

3

．
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．

Answer 1

分析：（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，求出

AE

和

DP

的坐标，代入两个向量的夹角公式，解方程求得点E坐标．
（2）由F∈平面PAD，可设F（x，0，z），则

EF

•

BC

=0，且

EF

•

PC

=0，解方程组求得F的坐标．

解答：解：（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）．                                 
设P（0，0，2m），则E（1，1，m）．
∴

AE

=（-1，1，m），

DP

=（0，0，2m），
∴cos＜

DP

，

AE

＞=

2m2

1+1+m2 •2m

=

3

3

，解得m=1．
∴点E坐标是（1，1，1）．
（2）∵F∈平面PAD，∴可设F（x，0，z）?

EF

=（x-1，-1，z-1）．
∵EF⊥平面PCB，∴

EF

⊥

CB

?（x-1，-1，z-1）•（2，0，0）=0?x=1．
∵

EF

⊥

PC

，∴（x-1，-1，z-1）•（0，2，-2）=0?z=0．
∴点F的坐标是（1，0，0），即点F是AD的中点．

点评：本题考查两个向量的夹角公式，向量和平面垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．