题目内容
已知过点A（0，1）的直线l，斜率为k，与圆C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M、N两个不同点．
（1）求实数k取值范围；
（2）若O为坐标原点，且
•
=12，求k的值．
（1）求实数k取值范围；
（2）若O为坐标原点，且
| OM |
| ON |
分析：（1）设直线l方程为：y=kx+1，与圆C的方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根的判别式建立关于k的不等式，解之即得实数k取值范围；
（2）由向量数量积的坐标公式，结合一元二次方程根与系数的关系，建立关于k的方程，解之即得实数k的值．
（2）由向量数量积的坐标公式，结合一元二次方程根与系数的关系，建立关于k的方程，解之即得实数k的值．
解答：解：（1）由题意，设直线l方程为y=kx+1，
与圆C的方程消去y，得（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0…（*）
∵直线l与圆C相交于M、N两个不同点．
∴△=16（1+k）2-28（1+k2）＞0，解此不等式得
＜k＜
…（6分）
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
根据（1）的（*），得x1+x2=
，x1x2=
∵
•
=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
∴
•
=12即（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=
+8=12
解之得k=1，符合
＜k＜
，得k的值为1． …（12分）
与圆C的方程消去y，得（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0…（*）
∵直线l与圆C相交于M、N两个不同点．
∴△=16（1+k）2-28（1+k2）＞0，解此不等式得
4-
| ||
| 3 |
4+
| ||
| 3 |
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
根据（1）的（*），得x1+x2=
| 4+4k |
| 1+k2 |
| 7 |
| 1+k2 |
∵
| OM |
| ON |
∴
| OM |
| ON |
| 4k(k+1) |
| 1+k2 |
解之得k=1，符合
4-
| ||
| 3 |
4+
| ||
| 3 |
点评：本题在直角坐标系中，根据直线与圆的位置求参数k的取值范围，并在已知向量数量积的情况下求k的值，着重考查了直线与圆相交的性质和向量数量积的坐标公式等知识，属于基础题．
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如图，已知过点A（0，1）的直线l与抛物线C：y=x2交于M，N两点，又抛物线C在M，N两点处的两切线交于点B，M，N两点的横坐标分别为x1，x2．