Question

【题目】如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2， ，P是BC的中点． （Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）证明：取AB的中点F，连接PF，EF． 又∵P是BC的中点，∴ ．
∵ ，ED∥AC，
∴ ，
∴四边形EFPD是平行四边形，
∴PD∥EF．
而EF平面EAB，PD平面EAB，
∴PD∥平面EAB．
（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．
以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则z轴在平面EACD内．则A（0，0，），B（2，0，0）， ， ．
∴ ， ．
设平面EBD的法向量 ，由 ，得 ，
取z=2，则 ，y=0．∴ ．
可取 作为平面ABC的一个法向量，
∴ = = = ．
即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为 ．

【解析】（I）取AB的中点F，连接PF，EF．利用三角形的中位线定理可得 ．再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形EFPD是平行四边形，可得PD∥EF．利用线面平行的判定定理即可得出；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．