题目内容
某市实行机动车摇号购车政策，规定每年购车指标为24万个，设2014年初全市汽车保有量为500万辆，假设每年淘汰的旧车为该年初汽车保有量的4%，每年新购车辆数等于该年购车指标．
（Ⅰ）求2015年初和2016年初全市汽车保有量（万辆）；
（Ⅱ）设2014年初的汽车保有量为a1，n-1年后汽车保有量为an(n∈N*)，求证：数列{an-600}为等比数列；
（Ⅲ）要想将全市每年的汽车保有量控制在550万辆以下，是否需要调整每年的购车指标，若不需调整，说明理由，若需调整，求出每年购车指标的最大值（万个）．
（Ⅰ）求2015年初和2016年初全市汽车保有量（万辆）；
（Ⅱ）设2014年初的汽车保有量为a1，n-1年后汽车保有量为an(n∈N*)，求证：数列{an-600}为等比数列；
（Ⅲ）要想将全市每年的汽车保有量控制在550万辆以下，是否需要调整每年的购车指标，若不需调整，说明理由，若需调整，求出每年购车指标的最大值（万个）．
分析：（Ⅰ）由每年年初的汽车保有量减去每年淘汰的汽车数量得答案；
（Ⅱ）由题意可知，2014年年初汽车保有量为a1，每过一年汽车保有量为上一年的0.96倍加24，由此得到
an=0.96an-1+24，进一步得到an-600=0.96（an-1-600），说明数列{an-600}为等比数列；
（Ⅲ）设出每年购车指标为x万辆，得到an=0.96an-1+x，由此推出{an-25x}是以a1-25x为首项，0.96为公比的等比数列，求出an后分类讨论满足使a1≤550成立的x的值，得到答案．
（Ⅱ）由题意可知，2014年年初汽车保有量为a1，每过一年汽车保有量为上一年的0.96倍加24，由此得到
an=0.96an-1+24，进一步得到an-600=0.96（an-1-600），说明数列{an-600}为等比数列；
（Ⅲ）设出每年购车指标为x万辆，得到an=0.96an-1+x，由此推出{an-25x}是以a1-25x为首项，0.96为公比的等比数列，求出an后分类讨论满足使a1≤550成立的x的值，得到答案．
解答：解：（Ⅰ）根据题意2015年汽车保有量为500-500×0.04+24=504，
2016年汽车保有量为504-504×0.04+24=507.84；
（Ⅱ）根据题意有an=0.96an-1+24，
∵an-600=0.96an-1+24-600=0.96an-1-576=0.96（an-1-600），
又∵a1-600=-100，
∴{an-600}是以-100为首相，公比为0.96的等比数列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，设每年购车指标为x万辆，则an=0.96an-1+x．
变形可得：an-25x=0.96（an-1-25x），
∴{an-25x}是以a1-25x为首项，0.96为公比的等比数列．
∴an-25x=0.96n-1(500-25x)．
∴an=25x+0.96n-1(500-25x)．
当500-25x≥0，即0＜x≤20时，an随n增大而减小，
∵a1≤550，∴25x＜550，即x≤20成立．
当500-25x＜0，即x＞20时，n→+∞，an→25x且an＜25x，
∴只需25x≤550，即x≤22．
每年购车指标调整为22万个，汽车保有量会控制在550万辆以下．
2016年汽车保有量为504-504×0.04+24=507.84；
（Ⅱ）根据题意有an=0.96an-1+24，
∵an-600=0.96an-1+24-600=0.96an-1-576=0.96（an-1-600），
又∵a1-600=-100，
∴{an-600}是以-100为首相，公比为0.96的等比数列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，设每年购车指标为x万辆，则an=0.96an-1+x．
变形可得：an-25x=0.96（an-1-25x），
∴{an-25x}是以a1-25x为首项，0.96为公比的等比数列．
∴an-25x=0.96n-1(500-25x)．
∴an=25x+0.96n-1(500-25x)．
当500-25x≥0，即0＜x≤20时，an随n增大而减小，
∵a1≤550，∴25x＜550，即x≤20成立．
当500-25x＜0，即x＞20时，n→+∞，an→25x且an＜25x，
∴只需25x≤550，即x≤22．
每年购车指标调整为22万个，汽车保有量会控制在550万辆以下．
点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等比关系的确定，训练了分类讨论的数学思想方法，体现了极限思想在解题中的运用，是中档题．
练习册系列答案
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