题目内容

已知点R（-3，0），点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴上，点M在直线PQ上，且满足2
QM
+3
MP
=
0
，
PM
•
QM
=1．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=x+m（m∈R）与曲线C恒有公共点求m的取值范围．
分析：（1）利用直接法求点M的轨迹C的方程，先设出P点坐标，用P点坐标表示2
QM
+3
MP
=
0
，与
PM
•
QM
=1，再化简，就可得点M的轨迹C的方程．
（2）直线l方程与（1）中所求点M的轨迹C的方程联立，消y，得到关于x的一元二次方程，先找直线l：y=x+m（m∈R）与曲线C有1个公共点时，m的值，结合图象，就可求出直线l：y=x+m（m∈R）与曲线C恒有公共点时m的范围．
解答：精英家教网解：（1）设M（x，y），由2
QM
 +3
MP
=
0
，得P（
x
3
，0），Q（0，-
y
2
）
由
PM
 •
QM
=1得（
x
3
，0）•（0，-
y
2
）=1，
即
x2
3
2
+
y2
2
3
=1，
由于点P在x轴的正半轴上，所以x＞0，
故点M的轨迹C的方程为
x2
3
2
+
y2
2
3
=1（x＞0）
（2）由
x2
3
2
+
y2
2
3
=1
y=x+m

得13x2+18mx+（9m2-6）=0，
△=（18m）2-4×13（9m2-6）=0得  m2=
13
6
，m=±
78
6
，
因为
x2
3
2
+
y2
2
3
=1（x＞0）表示椭圆在y轴右边部分．
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椭圆
x2
3
2
+
y2
2
3
=1的上顶点B（0，
6
3
），
所以数形结合得-
78
6
≤m＜
6
3

所以m的取值范围为[-
78
6
，
6
3
]．
点评：本题考查了直接法求曲线方程，以及直线与圆锥曲线位置关系的判断．
练习册系列答案
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已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足2
PM
+3
MQ
=
0
，
RP
•
PM
=0．
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）为轨迹C上两点，且x1＞1，y1＞0，N（1，0），求实数λ，使
AB
=λ
AN
，且|AB|=
16
3
．

已知点R（-3，0），点P在轴的正半轴上，点Q在轴上，点M在直线PQ上，且满足．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）设直线与曲线C恒有公共点，求的取值范围.
已知点R（-3，0），点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴上，点M在直线PQ上，且满足2+3=，•=1．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=x+m（m∈R）与曲线C恒有公共点求m的取值范围．
已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）为轨迹C上两点，且x1＞1，y1＞0，N（1，0），求实数λ，使，且．

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