Question

设P是一个数集，且至少含有三个数，若对任意a，b∈P（a≠b）都有a+b，a-b、ab、

a

b

∈P （除数b≠0 ），则称P是一个数域．
例如：有理数集Q 是数域，实数集R也是数域．
（1）求证：整数集Z不是数域；
（2）求证：数域必含有0，1两个数；
（3）若有理数集Q⊆M，那么数集M 是否一定为数域？说明理由．

Answer 1

分析：本题考查的主要知识点是新定义概念的理解能力．我们可根据已知中对数域的定义：设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、

a

b

∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，对3个命题逐一进行判断证明即可．

解答：证明：（1）若整数集Z是数域，…（1分）
则由1∈Z，2∈Z，得

1

2

∈Z，…（3分）
与

1

2

∉ Z矛盾．                    …（4分）
故整数集Z是数域不可能，即整数集Z不是数域   …（5分）
（2）设P是一个数域，a，b∈P，a≠b，ab≠0
则(a+b)∈P ， 

a+b

b

∈P ， 

a

b

∈P 

所以

a+b

b

-

a

b

=1∈P …（8分）
同理可得，

a

b

-

a+b

b

=-1∈P …（9分）
所以-1+1=0∈P                   …（10分）
故数域必含有0，1两个数
（3）数集M 
不一定为数域．                        …（11分）
例如：①若M=R，则Q⊆M，且M 是数域；      …（12分）
②若M={x|x∈Q，或x=

2

 }则Q⊆M，但M 不是数域；…（13分）
假设M是数域，则由-1∈M，

2

∈M，得-1×

2

=-

2

∈M 

所以-

2

∈Q 与-

2

∉Q 矛盾!…（15分）
综上所述：数集M 不一定为数域．             …（16分）

点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的3个命题代入进行检验，要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验，如（1）对除法如

1

2

∉Z不满足，所以排除．