Question

（2012•闸北区一模）已知函数f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）有最小值．
（1）求实常数a的取值范围；
（2）设g（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）=f（x），求g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）分x≥2与x＜2讨论，将绝对值符号去掉，结合题意f（x）有最小值，即可求得常数a的取值范围；
（2）设x＞0，则-x＜0，由题意可求得g（x）=（a-2）x-4，而当x＜0时，g（x）=f（x），从而可得g（x）的解析式．

解答：解：（1）∵f（x）=2|x-2|+ax，
∴f(x)=

(a+2)x-4，x≥2 (a-2)x+4，x＜2

（3分）
又函数f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）有最小值，
∴-2≤a≤2，
即当-2≤a≤2 f（x）有最小值；（3分）
（2）∵g（x）为R上的奇函数，
∴g（-0）=-g（0），得g（0）=0，（2分）
设x＞0，则-x＜0，由g（x） 为奇函数，得g（x）=-g（-x）=（a-2）x-4． （4分）
∴g（x）=

(a-2)x+4，x＜0 0，x=0 (a-2)x-4，x＞0

，（2分）

点评：本题考查带绝对值的函数，着重考查函数的奇偶性，正确理解“函数f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）有最小值”是关键，也是难点，属于中档题．