Question

假设位于正四面体ABCD顶点处的一只小虫，沿着正四面体的棱随机地在顶点间爬行，记小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一点，每二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点，如此一直爬下去，记第n（n∈N^*）次爬行小虫位于顶点A处的概率为p_n．
（1）求p₁，p₂，p₃的值，并写出p_n的表达式（不要求证明）；
（2）设Sn=p1

C

1 n

+p2

C

2 n

+p3

C

3 n

+…+pn

C

n n

(n∈N*)，试求S_n（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）根据小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一点，每二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点，可求出p₁，p₂，p₃的值，从而可猜想出p_n的表达式；
（2）根据p_n的表达式，利用分组求和法以及二项式定理的逆用、二项式系数的和从而可求出所求．

解答：解：（1）p₁=0，p₂=

1

3

，p₃=

1

3

（1-p₂）=

2

9

，p₄=

1

3

（1-p₃）=

7

27

猜想：p_n=

1

4

[1-（-

1

3

）^n-1]
（2）Sn=p1

C

1 n

+p2

C

2 n

+p3

C

3 n

+…+pn

C

n n

(n∈N*)
=

1

4

（

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

）+

3

4

[

C

1 n

（-

1

3

）¹+

C

2 n

（-

1

3

）²+…

C

n n

（-

1

3

）ⁿ]
=

1

4

（

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

）+

3

4

[

C

0 n

（-

1

3

）⁰+

C

1 n

（-

1

3

）¹+

C

2 n

（-

1

3

）²+…

C

n n

（-

1

3

）ⁿ]
=

1

4

•2ⁿ+

3

4

（1-

1

3

）ⁿ-1
=2^n-2+

1

2

（

2

3

）^n-1-1

点评：本题主要考查了等比数列的通项，以及二项式系数的性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．