题目内容

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难的学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费,每一年度申请总额不超过6000元.某大学2013届毕业生王昌在本科上学期间共申请了24000元助学贷款,并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清.工作后,王昌计划前12个月每个月还款500元,第13个月开始,每月还款比上一个月多x元.
(1)用x和n表示王昌第n个月的还款额an
(2)当x=40时,王昌将在第几个月还清贷款?
分析:(1)依题意,王昌前12个月每个月的还款额为500元,第13个月开始,逐月的还款额构成一个首项为500+x,公差为x的等差数列,进而可用分段函数表示出王昌第n个月的还款额an
(2)设王昌第n个月还清贷款,结合(1)中结论,构造关于n的不等式组,解不等式可得结论.
解答:解:(1)依题意,王昌前12个月每个月的还款额为500元,
an=500(1≤n≤12,n∈N*),…(2分)
第13个月开始,逐月的还款额构成一个首项为500+x,公差为x的等差数列,
则an=500+x+(n-13)x=500+(n-12)x,(13≤n≤36,n∈N*).
所以
an=
500,(1≤n≤12,n∈N*)
500+(n-12)x,(13≤n≤36,n∈N*)
.…(6分)
(2)设王昌第n个月还清贷款,
∵12×500<24000,
∴n≥13,…(7分)
则应有12×500+(500+40)×(n-12)+
(n-12)(n-12-1)
2
×40≥24000
,…(10分)
整理得n2+2n-1068≥0,…(11分)
解之得n≥-1+
1069
,或n≤-1-
1069
(舍去)
由于31<-1+
1069
<32
,所以n=32≤36.
即王昌将在第32个月还清贷款.…(13分)
点评:本题考查的知识点是数列的函数特征,是数列,函数,不等式的综合应用,难度在大,但运算量不小,属于中档题.
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