题目内容

设向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ，函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在 $数学公式$ 上的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）= $\text{[math]}$ =（sinx，cosx）•（sinx+cosx，2cosx）=sinx（sinx+cosx ）+2cos²x=1+ $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cos（2x+ $\text{[math]}$ ），
故函数的周期等于 $\text{[math]}$ =π．
（Ⅱ）令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，故函数的单调增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（Ⅲ）由于 $\text{[math]}$ ，故2x+ $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，故当2x+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ 时，函数取得最小值为1，当 2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，函数取得最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cos（2x+ $\text{[math]}$ ），由此求得它的周期．
（Ⅱ）令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的单调增区间．
（Ⅲ）由于 $\text{[math]}$ ，故2x+ $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，结合函数图象可得函数的最小值和函数的最大值．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，求复合三角函数的增区间，属于中档题．