题目内容
(06年北京卷理)(14分)
在数列中,若是正整数,且,则称为“绝对差数列”.
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(Ⅱ)若“绝对差数列”中,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;
(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
解析:(Ⅰ),(答案不惟一)
(Ⅱ)因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始,该数列是,,
即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当时,的极限
不存在.
当时, ,所以
(Ⅲ)证明:根据定义,数列必在有限项后出现零项.证明如下
假设中没有零项,由于,所以对于任意的n,都有,从而
当时, ;
当 时,
即的值要么比至少小1,要么比至少小1.
令
则
由于是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 ,这与()
矛盾. 从而必有零项.
若第一次出现的零项为第项,记,则自第项开始,每三个相邻的项周期地取值 0,, , 即
所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.
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