题目内容
【题目】已知椭圆:
的左,右焦点分别为
,
,离心率为
,
是椭圆
上的动点,当
时,
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点的直线交椭圆
于
,
两点,求
面积的最大值.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】试题分析:(1)设椭圆的半焦距为
,根据离心率和在
中余弦定理,列出方程,求得
,即可得到椭圆的方程;
(2)设直线的方程为
,联立方程组,求得则
,利用弦长公式求得
,在由点到直线的距离公式,求得点
到直线
的距离为
,即可得到三角形面积的表达,再利用基本不等式,即可求解面积的最大值.
试题解析:
(1)设椭圆的半焦距为
,
因为椭圆的离心率为
,
所以.①
在中,
,由余弦定理,
得,
得,
得,
即,
所以.
因为的面积
,
所以,即
.②
又,③
由①②③,解得,
,
.
所以椭圆的标准方程为
.
(2)设直线的方程为
,
,
,
联立
得,
由,得
.
则,
.
由弦长公式,得
.
又点到直线
的距离为
,
所以
.
令,则
.
所以
,
当且仅当,即
,
时取等号.
所以面积的最大值为
.
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