题目内容
(本题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般 情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当
桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20
辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度 x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v (x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)
(1);
(2)当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333.
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.
【解析】本题主要考查一次函数的应用、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力,属于中等题.
(1)根据题意,函数v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数v(x)在20≤x≤200时的表达式,根据一次函数表达式的形式,用待定系数法可求得;
(2)先在0≤x≤20上,车流量函数为增函数,得最大值为v(20)=1200,然后在20≤x≤200上,车流量函数为二次函数,然后根据二次函数的最大值问题解答。
解:(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b.
再由已知得解得
………………………………4分
故函数v(x)的表达式为
……………………………………………………6分
(2)依题意并由(1)可得
………………………………………8分
当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;……9分
当20≤x≤200时,f(x)=x(200-x)≤
=
. ……………10分
当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.
所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值.……………11分
综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333.
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.
………12分
