Question

已知函数φ(x)=+1,f(x)=(a+b)^x-a^x-b^x,其中a,b∈N₊,a≠1,b≠1,a≠b,且ab=4,

(1)求函数φ(x)的反函数g(x);

(2)对任意n∈N₊，试指出f(n)与g(2ⁿ)的大小关系，并证明你的结论.

Answer 1

思路分析：欲比较f(n)与g(2ⁿ)的大小，需求出f(n)与g(2ⁿ)的关于n的表达式，以利于特殊探路——从n=1，2，3，…中寻找、归纳一般性结论，再用数学归纳法证明.

解：(1)由y=+1,得=y-1(y≥1),

有x+1=(y-1)²,即x=y²-2y,故g(x)=x²-2x(x≥1).

(2)∵f(n)=(a+b)ⁿ-aⁿ-bⁿ，g(2ⁿ)=4ⁿ-2ⁿ⁺¹,

当n=1时f(1)=0,g(2)=0，有f(1)=g(2).

当n=2时，f(2)=(a+b)²-a²-b²=2ab=8,

g(2²)=4²-2³=8,f(2)=g(2²).

当n=3时，f(3)=(a+b)³-a³-b³=3a²b+3ab²=3ab(a+b)

＞3ab×=48.

g(2³)=4³-2⁴=48,有f(3)＞g(2³).

当n=4时,f(4)=(a+b)⁴-a⁴-b⁴

=4a³b+4ab³+6a²b²

=4ab(a²+b²)+6a²b²

＞4ab×2ab+6a²b²

=14a²b²=224.

g(2⁴)=4⁴-2⁵=224,有f(4)＞g(2⁴),由此推测当1≤n≤2时，f(n)=g(2ⁿ),

当n≥3时，f(n)＞g(2ⁿ).

下面用数学归纳法证明.

(1)当n=3时，由上述推测成立；

（2）假设n=k时，推测成立.即f(k)＞g(2^k)(k≥3),

即（a+b）^k-a^k-b^k＞4^k-2^k+1,

那么f(k+1)=(a+b)^k+1-a^k+1-b^k+1

=(a+b)·(a+b)^k-a·a^k-b·b^k

=(a+b)［(a+b)^k-a^k-b^k］+a^kb+ab^k.

又依题设a+b＞2ab=4.

a^kb+ab^k＞=2(ab)=2^k+2,

有f(k+1)＞4［(a+b)^k-a^k-b^k］+2^k+2＞4(4^k-2^k+1)+2^k+2

=4^k+1-2^k+2=g(2^k+1),

即n=k+1时，推测也成立.

    由（1）（2）知n≥3时，f(n)＞g(2ⁿ)都成立.