题目内容
过抛物线
的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB，求直线l的斜率k的取值范围．
解：（1）∵|AF|=2，∴由抛物线的定义，可得1+
=2，∴p=2
∴抛物线C的方程为x2=4y；
（2）抛物线C的焦点为F（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，A（
），B（
），M（
）
直线方程代入抛物线方程可得x2-4kx-4=0
∴x1+x2=4k，x1x2=-4
∵MA⊥MB，∴
∴（x1-x0）（x2-x0）+
=0
∵M不与A，B重合，∴（x1-x0）（x2-x0）≠0
∴1+
（x1+x0）（x2+x0）=0
∴x1x2+（x1+x2）x0+
=0
∴
∴△=16k2-48≥0
∴k≤
或k≥
．
分析：（1）利用抛物线的定义，结合|AF|=2，即可求得抛物线的方程；
（2）直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及MA⊥MB，建立方程，即可求直线l的斜率k的取值范围．
点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
=2，∴p=2∴抛物线C的方程为x2=4y；
（2）抛物线C的焦点为F（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，A（
），B（），M（）直线方程代入抛物线方程可得x2-4kx-4=0
∴x1+x2=4k，x1x2=-4
∵MA⊥MB，∴
∴（x1-x0）（x2-x0）+
=0∵M不与A，B重合，∴（x1-x0）（x2-x0）≠0
∴1+
（x1+x0）（x2+x0）=0∴x1x2+（x1+x2）x0+
=0∴
∴△=16k2-48≥0
∴k≤
或k≥．分析：（1）利用抛物线的定义，结合|AF|=2，即可求得抛物线的方程；
（2）直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及MA⊥MB，建立方程，即可求直线l的斜率k的取值范围．
点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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的焦点F作倾斜角为
的直线交抛物线于A、B两点，使
，过点A作与x轴重直的直线交抛物线于点C，则△BCF的面积是（ ）
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