题目内容

平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BDAE,BD⊥BA,BD=
1
2
AE=2
,O、M分别为CE、AB的中点.
(I)求证:OD平面ABC;
(II)能否在EM上找一点N,使得ON⊥平面ABDE?若能,请指出点N的位置,并加以证明;若不能,请说明理由.
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证明:(I)取AC中点F,连接OF、FB.
∵F是AC的中点,O为CE的中点,
∴OFEA,且OF=
1
2
EA,
又BDAE,且BD=
1
2
AE,
∴OFDB,OF=DB,
∴四边形BDOF是平行四边形.
∴ODFB.
又∵FB?平面ABC,OD?平面ABC,
∴OD面ABC.
(II)当N是EM中点时,ON⊥平面ABDE.
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证明:取EM中点N,连接ON、CM,
∵AC=BC,M为AB中点,
∴CM⊥AB,
又∵面ABDE⊥面ABC,面ABDE∩面ABC=AB,CM?面ABC,
∴CM⊥面ABDE,
∵N是EM中点,O为CE中点,
∴ONCM,
∴ON⊥平面ABDE.
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