题目内容
已知函数
(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数;
(2)设g(x)=log2f(x),求g(x)的值域;
(3)对于(2)中函数g(x),若关于x的方程|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解,求m的取值范围.
(1)证明:
,
设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个数,且x1<x2,…(2分)
则
…(4分)
∵x1<x2,∴x1-x2<0,∴
,即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,…(6分)
(2)解:
,
因为x>0,所以x+1>1,所以
,即0<f(x)<2…(8分)
又因为x>0时,f(x)单调递增,y=log2t单调递增,
所以y=log2f(x)单调递增,所以g(x)值域为(-∞,1)…(10分)
(3)解:由(2)可知y=|g(x)|大致图象如图所示,
设|g(x)|=t,则|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解,即为t2+mt+2m+3=0有两个根,且一个在(0,1)上,一个在[1,+∞)上,
设h(t)=t2+mt+2m+3…(12分)
①当有一个根为1时,h(1)=12+m+2m+3=0,
,此时另一根为
适合题意; …(13分)
②当没有根为1时,
,得
,
∴
∴m的取值范围为
…(16分)
分析:(1)利用函数单调性的定义,取值、作差、变形定号、下结论,即可证得;
(2)确定0<f(x)<2,利用函数的单调性,可求g(x)的值域;
(3)作出y=|g(x)|大致图象,设|g(x)|=t,则|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解,即为t2+mt+2m+3=0有两个根,且一个在(0,1)上,一个在[1,+∞)上,由此可得结论.
点评:本题考查函数的单调性,考查函数的值域,考查方程根的问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个数,且x1<x2,…(2分)
则

∵x1<x2,∴x1-x2<0,∴

∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,…(6分)
(2)解:

因为x>0,所以x+1>1,所以

又因为x>0时,f(x)单调递增,y=log2t单调递增,
所以y=log2f(x)单调递增,所以g(x)值域为(-∞,1)…(10分)
(3)解:由(2)可知y=|g(x)|大致图象如图所示,

设|g(x)|=t,则|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解,即为t2+mt+2m+3=0有两个根,且一个在(0,1)上,一个在[1,+∞)上,
设h(t)=t2+mt+2m+3…(12分)
①当有一个根为1时,h(1)=12+m+2m+3=0,


②当没有根为1时,


∴

∴m的取值范围为

分析:(1)利用函数单调性的定义,取值、作差、变形定号、下结论,即可证得;
(2)确定0<f(x)<2,利用函数的单调性,可求g(x)的值域;
(3)作出y=|g(x)|大致图象,设|g(x)|=t,则|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解,即为t2+mt+2m+3=0有两个根,且一个在(0,1)上,一个在[1,+∞)上,由此可得结论.
点评:本题考查函数的单调性,考查函数的值域,考查方程根的问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目