题目内容
（2012•湖南）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x-5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线C1的方程
（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
（Ⅰ）求曲线C1的方程
（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
分析：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），根据对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，可得|x+2|=
-3且圆C2上的点位于直线x=-2的右侧，从而可得曲线C1的方程；
（Ⅱ）当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为（-4，y0），设切线方程为kx-y+y0+4k=0，利用直线与圆相切可得72k2+18y0k+y02-9=0，从而可得过P所作的两条切线PA，PC的斜率k1，k2是方程的两个实根，设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可得y1y2=
；同理可得y3y4=
，由此可得当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．
| (x-5)2+y2 |
（Ⅱ）当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为（-4，y0），设切线方程为kx-y+y0+4k=0，利用直线与圆相切可得72k2+18y0k+y02-9=0，从而可得过P所作的两条切线PA，PC的斜率k1，k2是方程的两个实根，设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可得y1y2=
| 20(y0+4k1) |
| k1 |
| 20(y0+4k2) |
| k2 |
解答：（Ⅰ）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|=
-3且圆C2上的点位于直线x=-2的右侧
∴
=x+5
化简得曲线C1的方程为y2=20x
（Ⅱ）证明：当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为（-4，y0），
∵y0≠±3，∴过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为
y-y0=k（x+4），即kx-y+y0+4k=0，
∴
=3，整理得72k2+18y0k+y02-9=0①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根
∴k1+k2=-
②
由
，消元可得k1y2-20y+20(y0+4k1)=0③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，
∴y1，y2是方程③的两个实根
∴y1y2=
④
同理可得y3y4=
⑤
由②④⑤可得y1y2y3y4=
×
=
=6400
∴当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．
| (x-5)2+y2 |
∴
| (x-5)2+y2 |
化简得曲线C1的方程为y2=20x
（Ⅱ）证明：当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为（-4，y0），
∵y0≠±3，∴过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为
y-y0=k（x+4），即kx-y+y0+4k=0，
∴
| |5k+y0+4k| | ||
|
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根
∴k1+k2=-
| y0 |
| 4 |
由
|
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，
∴y1，y2是方程③的两个实根
∴y1y2=
| 20(y0+4k1) |
| k1 |
同理可得y3y4=
| 20(y0+4k2) |
| k2 |
由②④⑤可得y1y2y3y4=
| 20(y0+4k1) |
| k1 |
| 20(y0+4k2) |
| k2 |
| 400(y02-y02+16k1k2) |
| k1k2 |
∴当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆相切，考查韦达定理的运用，解题的关键是切线与抛物线联立，属于中档题．
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