Question

用反证法证明：若x，y都是正实数，且x+y＞2求证：

1+x

y

＜2或

1+y

x

＜2中至少有一个成立．

Answer 1

分析：假设

1+x

y

≥2且

1+y

x

≥2，根据x，y都是正数可得 x+y≤2，这与已知x+y＞2矛盾，故假设不成立．

解答：证明：假设

1+x

y

＜2与

1+y

x

＜2都不成立，即

1+x

y

≥2且

1+y

x

≥2，…（2分）
∵x，y都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x，…（5分）
∴1+x+1+y≥2x+2y，…（8分）
∴x+y≤2…（10分）
这与已知x+y＞2矛盾…（12分）
∴假设不成立，即

1+x

y

＜2或

1+y

x

＜2中至少有一个成立…（14分）

点评：本题考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．