题目内容
已知函数
的反函数为f-1（x）．设数列{an}满足a1=1，an+1=f-1（an）（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}满足
，求证：对一切正整数n≥1都有
…
．
【答案】分析：（1）由
，知
，所以
．由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由
，知
，由此能够证明对一切正整数n≥1都有
…
．
解答：解：（1）由
⇒
，
∴
．
∴
是以
为首项，1为公差的等差数列，
即
．∴
．
（2）由已知得
，显然bn∈（0，+∞）．
∴
，
∴
…
=
…
=
．
点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
，知，所以．由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由
，知，由此能够证明对一切正整数n≥1都有…．解答：解：（1）由
⇒，∴
．∴
是以为首项，1为公差的等差数列，即
．∴．（2）由已知得
，显然bn∈（0，+∞）．∴
，∴
…=…=．点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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