Question

甲和乙参加有奖竞猜闯关活动，活动规则：①闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10万奖金，闯第二关得20万奖金，闯第三关得30万奖金，一关都没过则没有奖金．已知甲每次闯关成功的概率为

1

4

，乙每次闯关成功的概率为

1

3

．
（1）设乙的奖金为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）求甲恰好比乙多30万元奖金的概率．

Answer 1

分析：（1）先分析随机变量ξ的所有可能取值，再利用ξ取值的实际意义，运用独立事件同时发生的概率运算性质分别计算概率，最后画出分布列，利用期望计算公式计算期望即可；
（2）甲恰好比乙多30万元奖金包含两个互斥事件，即甲恰好得30万元同时乙恰好得0万元和甲恰好得60万元且乙恰好得30万元，分别计算两个互斥事件的概率再相加即可

解答：解：（1）ξ的取值为0，10，30，60．
P(ξ=0)=1-

1

3

=

2

3

P(ξ=10)=(1-

1

3

)×

1

3

=

2

9

P(ξ=30)=(1-

1

3

)×

1

3

×

1

3

=

2

27

  
 P(ξ=60)=(

1

3

)3=

1

27

∴ξ 的概率分布如下表：

ξ	0	10	30	60
P	2 3	2 9	2 27	1 27

E(ξ)=0×

2

3

+10×

2

9

+30×

2

27

+60×

1

27

=

20

3

（2）设甲恰好比乙多30万元为事件A，甲恰好得30万元且乙恰好得0万元为事件B₁，
甲恰好得60万元且乙恰好得30万元为事件B₂，则A=B₁∪B₂，B₁，B₂为互斥事件．P(A)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=(

1

4

)2×

3

4

×

2

3

+(

1

4

)3×

2

27

=

7

216

．
所以，甲恰好比乙多30万元的概率为

7

216

点评：本题考查了离散型随机变量分布列及其期望的计算，独立事件同时发生的概率，互斥事件至少一个发生的概率