Question

【题目】已知不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为A．
（1）求A；
（2）若a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x +m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：①当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+2＜18，解得﹣9＜x＜﹣2；

②当﹣2≤x≤2时，x+2﹣x+2＜18，恒成立；

③当x＞2时，x+2+x﹣2＜18，解得2＜x＜9．

综上，不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为（﹣9，﹣2）∪[﹣2，2]∪（2，9）=（﹣9，9）．

∴A=（﹣9，9）

（2）解：∵a，b∈（﹣9，9），∴a+b∈（﹣18，18）．∵a+b＜x +m恒成立，

∴18≤x +m恒成立，∵x∈（0，+∞），∴x+ +m≥2 +m=4+m．

∴18≤4+m，解得m≥14．

∴m的取值范围是[14，+∞）

【解析】（1）分x＜﹣2，﹣2≤x≤2，x＞2三种情况去绝对值符号将不等式转化为一元一次不等式求解；（2）分别求出a+b和x +m的范围，令a+b的最大值小于x +m的最小值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．