题目内容
已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
| ||
| 2 |
6
| ||
| 5 |
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求
| EP |
| QP |
分析：（1）先利用离心率为
得到关于a，b，c之间的关系，再结合点O到直线AB的距离为
，即可求出a，b，c，进而得到椭圆C的标准方程；
（2）先利用EP⊥EQ把所求问题转化为
2，再利用点P在抛物线上，利用抛物线上的点的范围限制即可求出
•
的取值范围．
| ||
| 2 |
6
| ||
| 5 |
（2）先利用EP⊥EQ把所求问题转化为
| EP |
| EP |
| QP |
解答：解：（1）由离心率e=
=
，得
=
=
∴a=2b①
∵原点O到直线AB的距离为
∴
=
②，
将①代入②，得b2=9，∴a2=36
则椭圆C的标准方程为
+
=1
（2）∵EP⊥EQ∴
•
=0
∴
•
=
•(
-
)=
2
设P（x，y），则
+
=1，即y2=9-
∴
•
=
2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+9-
=
(x-4)2+6
∵-6≤x≤6，∴6≤
(x-4)2+6≤81
则
•
的取值范围为[6，81]．
| c |
| a |
| ||
| 2 |
| b |
| a |
| 1-e2 |
| 1 |
| 2 |
∵原点O到直线AB的距离为
6
| ||
| 5 |
∴
| ab | ||
|
6
| ||
| 5 |
将①代入②，得b2=9，∴a2=36
则椭圆C的标准方程为
| x2 |
| 36 |
| y2 |
| 9 |
（2）∵EP⊥EQ∴
| EP |
| EQ |
∴
| EP |
| QP |
| EP |
| EP |
| EQ |
| EP |
设P（x，y），则
| x2 |
| 36 |
| y2 |
| 9 |
| x2 |
| 4 |
∴
| EP |
| QP |
| EP |
| x2 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∵-6≤x≤6，∴6≤
| 3 |
| 4 |
则
| EP |
| QP |
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决第一问的关键是利用条件列出关于a，b，c之间的方程．
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