题目内容

直线过点P（ $数学公式$ ，2）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，点O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：
（1）△AOB的周长为12；
（2）△AOB的面积为6．若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．

解：设直线的方程为 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0），
若满足条件（1）则可得 $\text{[math]}$ ①，
再由直线过点P（ $\text{[math]}$ ，2）可得 $\text{[math]}$ ②
由①②可解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
故所求直线的方程为： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
化为一般式可得3x+4y-12=0或15x+8y-36=0；
若满足条件（2）则可得ab=12， $\text{[math]}$ ，
消去b，并整理得a²-6a+8=0，
解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
所以所求直线的方程为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
化为一般式可得3x+4y-12=0或3x+y-6=0；
故同时满足（1）（2）的直线方程为：3x+4y-12=0
分析：设直线的方程为 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0），若满足（1）可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，联立可解ab，可得方程；若满足（2）可得ab=12， $\text{[math]}$ ，
同样可得方程，它们公共的方程即为所求．
点评：本题考查直线的一般式方程和三角形的面积和周长，涉及方程组的求解，属基础题．