题目内容
【题目】对于数列 
， 
， 
， 
，若满足 
，则称数列 
为“ 
数列”．
若存在一个正整数 
，若数列 
中存在连续的 
项和该数列中另一个连续的 项恰好按次序对应相等，则称数列 是“ 阶可重复数列”，
例如数列 
因为 
， ， 
， 
与 ， 
， 
， 
按次序对应相等，所以数列 是“ 
阶可重复数列”．
（I）分别判断下列数列 
， 
， 
， ， ， ， ， ， ， ．是否是“ 
阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这 项；
（II）若项数为 
的数列 一定是 “ 
阶可重复数列”，则 的最小值是多少？说明理由；
（III）假设数列 不是“ 阶可重复数列”，若在其最后一项 
后再添加一项 或 ，均可 使新数列是“ 阶可重复数列”，且 
，求数列 的最后一项 的值．
【答案】解：（I） 
（Ⅱ）因为数列 
的每一项只可以是 
或 
，所以连续 
项共有 
种不同的情形．
若 
，则数列 中有 
组连续 项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为 
的数列 一定是“ 阶可重复数列”；
若 
，数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 不是“ 阶可重复数列”；则 
时，均存在不是“ 阶可重复数列”的数列 ．
所以要使数列 一定是“ 阶可重复数列”，则 
的最小值是 ．
（III）由于数列 在其最后一项 
后再添加一项 或 ，均可使新数列是“ 
阶可重复数列”，即在数列 的末项 后再添加一项 或 ，
则存在 
，使得 
， 
， 
， 
， 
与 
， 
， 
， ， 按次序对应相等，或 
， 
， 
， 
， 
与 ， ， ， ， 按次序对应相等，如果 
， 
， 
， 
与 ， ， ， 不能按次序对应相等，
那么必有 
， 
， ，使得 ， ， ， 、 ， ， ， 与 ， ， ， 按次序对应相等．
此时考虑 
， 
和 
，其中必有两个相同，这就导致数列 中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列 是“ 阶可重复数列”，这和题设中数列 不是“ 阶可重复数列”矛盾！
所以 ， ， ， 与 ， ， ， 按次序对应相等，从而 
【解析】(1)由题意观察可得该数列是5阶可重复数列。(2)根据题意列验证举即可得出数列 { an } 一定是“ 3 阶可重复数列”，则 m 的最小值是 11。(3)根据题意利用假设法结合已知推导出数列 { an } 是“ 5 阶可重复数列”，这和题设中数列 { an } 不是“ 5 阶可重复数列”矛盾进而得出假设不成立即得结果。
