Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)当时，在单调递减，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减；(2)．

【解析】

试题分析：(1)求出的导数，讨论当，和三种情况分类讨论，根据导数取值的正负，即可求解函数的单调区间；(2)由（1）的单调区间，对讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可求解的取值范围．

试题解析：(1)

(i)设，则当时，；当时，.

所以在单调递减，在单调递增.

(ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).

①若，则，所以在单调递增.

②若，则ln(-2a)<1,故当时，；

当时，，所以在单调递增，在单调递减.

③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.

(2)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.

又，取b满足b<0且，

则，所以有两个零点.

(ii)设a=0，则所以有一个零点.

(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.

又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.

综上，a的取值范围为.