Question

已知抛物线y=8x²+10x+1
（1）试判断抛物线与x轴交点情况
（2）求此抛物线上一点A（-1，-1）关于对称轴的对称点B的坐标
（3）是否存在一次函数与抛物线只交于B点？若存在，求出符合条件的一次函数的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，得8x²+10x+1=0，△=100-4×8＞0；
因此抛物线与x轴有两个不同的交点．
（2）易知：抛物线的对称轴为x=-，∴B（-，-1）
（3）假设存在这样的一次函数，设一次函数的解析式为y=kx+b，已知直线过B点，则有：
-k+b=-1，b=-1，
∴y=kx+-1．
依题意有：，
则有8x²+10x+1=kx+-1，
即8x²+（10-k）x+=0；
由于两函数只有一个交点，
因此△=（10-k）²-8（8-k）=0，
即（k-6）²=0
∴k=6
∴一次函数的解析式为y=6x+．
分析：（1）令抛物线的y=0，可得出一个关于x的一元二次方程，如果△＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；如果△=0，与x轴有一个交点；如果△＜0，与x轴无交点．
（2）根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴为x=-，因此B点的坐标为（-，-1）
（3）应该有两条：①过B点且与y轴平行的直线，即x=-；②设出一次函数的解析式，将B点坐标代入一次函数中，使一次函数的待定系数只剩一个，然后联立抛物线的解析式，可得出一个关于x的一元二次方程，由于两函数只有一个交点，因此方程的△=0，由此可求出一次函数的待定系数，即可得出一次函数的解析式．
点评：本题以二次函数为载体，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、函数图象交点等知识点，综合性强．