Question

已知正方形ABCD,E、F分别是边AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示.记二面角ADEC的大小为θ(0＜θ＜π).

(1)证明BF∥平面ADE;

(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.

Answer 1

(1)证明:E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点,

∴EB∥FD,且EB=FD.

∴四边形EBFD是平行四边形.

∴BF∥ED.

∵ED平面AED,而BF平面AED,

∴BF∥平面AED.

(2)解析一:一点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过点A作AG⊥平面BCDE,垂足为G,连结GC、GD.

∵△ACD为正三角形,

∴AC=AD,

∴GC=GD,

∴G在CD的垂直平分线上.

又∵EF是CD的垂直平分线,

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过G作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE,

∴∠AHG是二面角ADEC的平面角,即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a,连结AF.

在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a.

∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.

解析二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

连结AF,在平面AEF内过点A作AG′⊥EF,垂足为G′.

∵△ACD为正三角形,F为CD的中点,

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD,

∴CD⊥平面AEF.

∵AG′平面AEF,

∴CD⊥AG′.

又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE,

∴AG′⊥平面BCDE.

∴G′为A在平面BCDE内的射影G.

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过G作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角ADEC的平面角,即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a.

在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a.

∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DH=AD·AE.

∴AH=.

∴GH=.∴cosθ==.

解析三:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

连结AF,在平面AEF内过点A作AG′⊥EF,垂足为G′.

∵△ACD为正三角形,F为CD中点,

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD,

∴CD⊥平面AEF.

∵CD平面BCDE,

∴平面AEF⊥平面BCDE.

又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF,

∴AG′⊥平面BCDE,即G′为A在平面BCDE内的射影G,

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.

过G作GH⊥DE,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.

设原正方形ABCD的边长为2a.

在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a.

∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.

∴AH=.

∴GH=.∴cosθ=.