Question

关于函数f（x）=4sin（πx+

π

3

），x∈R，有下列命题：
①对任意x∈R，有f（x+1）=-f（x）成立；
②y=f（x）在区间[0，1]上的最小值为-4；
③y=f（x）的图象关于点（-

1

3

，0）对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称．
其中正确的命题的序号是

 

．（注：把你认为正确的命题的序号都填上．）

Answer 1

分析：利用诱导公式化简f（x+1）的解析式，可得①正确．
根据

π

3

≤πx+

π

3

≤

4π

3

，得πx+

π

3

=

4π

3

 时，f（x）有最小值为 4×（-

3

2

）=-2

3

，可得②不正确．
由点（-

1

3

，0）是f（x）与x轴的交点，可得③正确．
由当x=

π

6

时，f（x）=sin

π2+2π

6

≠±1，故x=

π

6

不是函数的对称轴，可得④不正确．

解答：解：f（x+1）=4sin（π+πx+

π

3

）=-4sin（πx+

π

3

）=-f（x），故①正确．
在区间[0，1]上，

π

3

≤πx+

π

3

≤

4π

3

，故πx+

π

3

=

4π

3

 时，f（x）有最小值为 4×（-

3

2

）=-2

3

，故②不正确．
当x=-

1

3

时，f（x）=sin0=0，故点（-

1

3

，0）是f（x）与x轴的交点，故y=f（x）的图象关于点（-

1

3

，0）对称，故③正确．
当x=

π

6

时，f（x）=sin

π2+2π

6

≠±1，故x=

π

6

不是函数的对称轴，故④不正确．
故答案为 ①③．

点评：本题考查正弦函数的对称性以及最值，诱导公式的应用，明确对称中心、对称轴的定义、函数取最值的条件，是解题的关键．