Question

设正方体的对称轴组成的集合为A={l₁，l₂，…，l_n-1，l_n}，对?i，j∈{1，2，…，n}，i≠j，都有异面直线a，b使得a∥l_i，b∥l_j，a，b所成的最小角为θ，则sin（nπ+θ）=

 

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Answer 1

分析：找出正方体的对称轴的直线的条数，结合题意求出异面直线的夹角，通过诱导公式求出三角函数值即可．

解答：解：正方体的对称轴：包括对面中心连线，3条；体对角线4条；对棱中点连线6条，
共计13条．
正方体的对称轴组成的集合为A={l₁，l₂，…，l_n-1，l_n}，对?i，j∈{1，2，…，n}，i≠j，都有异面直线a，b使得a∥l_i，b∥l_j，a，b所成的最小角为θ，所以θ就是对棱的中点连线与体对角线所成的角．
sin（nπ+θ）=sin（13π+θ）=-sinθ=-

1

3

=-

3

3

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故答案为：-

3

3

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点评：本题是中档题，考查正方体的对称轴与几何图形的关系，正确找出对称轴与异面直线的夹角是解题的关键与难点，考查空间想象能力，计算能力．