题目内容

过点M(2,4)作两条互相垂直的直线,分别交x轴y轴的正半轴于A、B,若四边形OAMB的面积被直线AB平分,求直线AB的方程.
分析:设A(a,0)、B(0,b).得到直线AB,由题知MA⊥MB即直线MA与直线MB的斜率乘积为-1,得到a与b的关系式;又因为四边形OAMB的面积被直线AB平分得到M到直线AB与O到直线AB的距离相等得到a与b的关系式,两者联立求出a和b即可得到直线AB的方程.
解答:解:由题意,设A(a,0)、B(0,b).则直线AB方程为
x
a
+
y
b
=1(a>0,b>0)
∵MA⊥MB,∴
4-0
2-a
×
4-b
2-0
=-1,化简得a=10-2b.
∵a>0,∴0<b<5.直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0
∴点M(2,4)到直线AB的距离为d1=
|2b+4a-ab|
a2+b2

又∵O点到直线AB的距离为d2=
|-ab|
a2+b2
,∵四边形OAMB的面积被直线AB平分,
∴d1=d2,∴2b+4a-ab=±ab.
又∵a=10-2b.
解得
a=2
b=4
a=5
b=
5
2

∴所求直线为2x+y-4=0或x+2y-5=0.
点评:考查学生理解两直线垂直时条件的能力,灵活运用点到直线距离公式的能力,能写出直线的一般式.
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