Question

14．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足$\sqrt{{x^2}+{y^2}+4x+4}+\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x+4}≤8$，则$2a+\sqrt{3}b$的取值范围为[1，+∞）．

Answer 1

分析 曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），对x，y分类讨论．画出图象：表示菱形ABCD．由$\sqrt{{x^2}+{y^2}+4x+4}+\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x+4}≤8$，即$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}≤8$．设M（-2，0），N（2，0），可得：2|PM|≤8，|BD|≤8，解出即可．

解答 解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），
当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax-by=1；
当x≤0，y≥0时，化为-ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为-ax-by=1．
画出图象：表示菱形ABCD．
由$\sqrt{{x^2}+{y^2}+4x+4}+\sqrt{{x^2}+{y^2}-4x+4}≤8$，即$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}≤8$．
设M（-2，0），N（2，0），可得：2|PM|≤8，|BD|≤8，
∴$\sqrt{4+\frac{1}{{b}^{2}}}≤4$，$\frac{2}{a}≤8$，
解得b≥$\frac{\sqrt{3}}{6}$，a≥$\frac{1}{4}$，
∴$2a+\sqrt{3}b$$≥2×\frac{1}{4}+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$．
∴$2a+\sqrt{3}b$的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评 本题考查了直线方程、分类讨论思想方法、两点之间的距离公式，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．