题目内容
关于函数f（x）=4sin（2x+
）（x∈R），有下列命题：
①由f （x1）=f （x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；
②若x1，x2∈（-
，
），且2f（x1）=f（x1+x2+
），则x1＜x2；
③函数的图象关于点（-
，0）对称；
④函数y=f （-x）的单调递增区间可由不等式2kπ-
≤-2x+
≤2kπ+
（k∈Z）求得．
正确命题的序号是
| π |
| 3 |
①由f （x1）=f （x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；
②若x1，x2∈（-
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
③函数的图象关于点（-
| π |
| 6 |
④函数y=f （-x）的单调递增区间可由不等式2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
正确命题的序号是
②③
②③
．分析：对于①和③通过利用三角函数的函数值等于0分析变量x1 和x2 的取值情况，从而判断命题的真假；
对于④，直接利用求复合函数单调性的方法加以判断；
②的判断稍微困难，分析得到[-
，
]为f（x）的第一个
周期，利用周期性加以变形，得到2f（x1）=2sin（2x1+
），然后利用sin（2x1+2x1+
）=2sin（2x1+
）cos（2x1+
）＜sin（2x1+2x2+
），结合单调性即可得到结论．
对于④，直接利用求复合函数单调性的方法加以判断；
②的判断稍微困难，分析得到[-
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| 1 |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
解答：解：对于①．令2x+
=kπ，得到x=
-
（k是整数），
由f（x1）=f（x2）=0，可得x1-x2必是
的整数倍，故①错误；
对于②．f（x）=4sin（2x+
），
求解得f（-
）=0，f（
）=1，周期T=π．
则[-
，
]为f（x）的第一个
周期（此周期内f（x）单调增大于0）．
设x1，x2 的取值区间为D，
2f（x1）=2sin（2x1+
）
f（x1+x2+
）=sin（2x1+2x2+
）
由于cos（2x1+
）在D中取值范围为（0，1），得
sin（2x1+2x1+
）=2sin（2x1+
）cos（2x1+
）＜sin（2x1+2x2+
）
即sin（2x1+2x1+
）＜sin（2x1+2x2+
）
又，在D中f（x）性质如上述，由单调性有x1＜x2．故②正确；
对于③．令2x+
=kπ，得到x=
-
（k是整数），当k=0时，得到x=-
，
所以函数y=f（x）的图象关于点（-
，0）对称．故③正确；
对于④．函数y=f （-x）=4sin(-2x+
)，
若求其增区间，只需让-2x+
在正弦函数的减区间内即可，故④不正确．
所以正确的命题的序号是②③．
故答案为②③．
| π |
| 3 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
由f（x1）=f（x2）=0，可得x1-x2必是
| π |
| 2 |
对于②．f（x）=4sin（2x+
| π |
| 3 |
求解得f（-
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
则[-
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| 1 |
| 4 |
设x1，x2 的取值区间为D，
2f（x1）=2sin（2x1+
| π |
| 3 |
f（x1+x2+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
由于cos（2x1+
| π |
| 3 |
sin（2x1+2x1+
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
即sin（2x1+2x1+
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
又，在D中f（x）性质如上述，由单调性有x1＜x2．故②正确；
对于③．令2x+
| π |
| 3 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
所以函数y=f（x）的图象关于点（-
| π |
| 6 |
对于④．函数y=f （-x）=4sin(-2x+
| π |
| 3 |
若求其增区间，只需让-2x+
| π |
| 3 |
所以正确的命题的序号是②③．
故答案为②③．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了正弦型复合函数的性质，解答的关键是熟记课本基础知识，是中档题．
练习册系列答案
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）（
），有下列命题：
可得
必是
的整数倍；
的表达式可改写为
；
对称；
对称．