题目内容

[文]已知不等式x2+px+1>2x+p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立,求x的范围;
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立,求p的范围.
分析:(1)是对|p|≤2时恒成立,可看作关于p的一次不等式恒成立,只要两端点满足要求即可;
(2)是对2≤x≤4时恒成立,可用分离参数求最值,或者转化为二次函数求最值,结合二次函数图象解决即可.
解答:解:(1)原不等式为(x-1)p+(x-1)2>0,
x=1时,有(x-1)p+(x-1)2=0,不等式不成立,
则必有x≠1,
x≠1时,令f(p)=(x-1)p+(x-1)2,f(p)是关于p的一次函数,
此时其定义域为[-2,2],由一次函数的单调性知
f(-2)=(x-1)(x-3)>0
f(2)=(x-1)(x+1)>0

解得x<-1或x>3.
即x的取值范围是{x|x<-1或x>3}.
(2)不等式可化为(x-1)p>-x2+2x-1,
∵2≤x≤4,∴x-1>0.
∴p>
-x2+2x-1
x-1
=1-x.
对x∈[2,4]恒成立,
所以p>(1-x)max
当2≤x≤4时,(1-x)max=-1,
于是p>-1.故p的范围是{p|p>-1}.
点评:本题为不等式恒成立问题,常用方法有:分离参数求最值、直接求最值、主参换位等.
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