Question

已知m＜9，给出如下两个命题：
p：二次函数y=x²+（m-7）x+1在定义域R上不存在零点；
q：三次函数y=-x³+3x在开区间（m-9，9-m）上存在最大值与最小值．
若命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数m的范围．

Answer 1

【答案】分析：根据函数零点与方程根的关系，可得方程x²+（m-7）x+1=0无实根，再由方程根与△的关系，可构造一个关于m 的不等式，解不等式可求出命题p成立的条件；根据三次函数的图象与性质，由三次函数y=-x³+3x在开区间（m-9，9-m）上存在最大值与最小值，也可构造一个关于m 的不等式，解不等式可求出命题q成立的条件；然后根据若命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，命题p与命题q中一个真，一个假，构造不等式组，即可得到答案．
解答：解：若二次函数y=x²+（m-7）x+1在定义域R上不存在零点
则方程x²+（m-7）x+1=0无实根
则△=（m-7）²-4＜0
解得5＜m＜9
若三次函数y=-x³+3x在开区间（m-9，9-m）上存在最大值与最小值．
则m-9≥-2，且9-m≤2，即m≥7
若命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，
故命题p与命题q中一个真，一个假
又∵m＜9，
∴当p真q假时，5＜m＜7
p假q真时，无满足条件的m的值
故实数m的范围为（5，7）
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数零点的判定定理，利用导数求闭区间上的函数的最值，综合性比较强，难度也比较大．