Question

设二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2α•β+6β=3，
（Ⅰ）求证：数列{an-

2

3

}是等比数列；
（Ⅱ）当a1=

7

6

时，求数列{na_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得a_n+1与a_n的递推关系整理即可证：数列{a_n-

2

3

}是等比数列；
（2）先利用（1）求出数列{a_n-

2

3

} 的通项公式，即可求数列{a_n}的通项公式．，然后利用分组求和，结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求解

解答：证明：（1）由韦达定理得α+β=

an+1

an

，α•β=

1

an

由6α-2αβ+6β=3得

6an+1

an

-

2

an

=3，
故a_n+1-

1

3

=

1

2

a_n，
∴a_n+1-

2

3

=

1

2

（a_n-

2

3

）
∴数列{an-

2

3

}是以

1

2

为公比的等比数列
解：（2）∵a1=

7

6

∴a1-

2

3

=

1

2

∴数列{an-

2

3

}是以

1

2

为公比以

1

2

为首项的等比数列
∴an-

2

3

=

1

2n

∴an=

2

3

+

1

2n

令Sn=

1

2

+

1

22

+…+

n

2n

∴

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

两式相减可得，

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=

2n+1-2-n

2n+1

∴Sn=

2n+1-n-2

2n

Tn=(

2

3

+

1

2

)+2(

2

3

+

1

22

)+…+n(

2

3

+

1

2n

）
=

2

3

(′1+2+…+n)+(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)
=

2

3

×

n(1+n)

2

+

2n+1-n-2

2n

=

n(n+1)

3

+

2n+1-n-2

2n

点评：本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查．本题虽然问比较多，但每一问都比较基础，属于中档题．