Question

如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列
（1）若a²，b²，c²成等差数列，证明b+c，c+a，a+b成调和数列；
（2）设S_n是调和数列{

1

n

}的前n项和，证明对于任意给定的实数N，总可以找到一个正整数m，使得当n＞m时，S_n＞N．

Answer 1

分析：（1）欲证b+c，c+a，a+b成调和数列，只须证

2

c+a

=

1

b+c

+

1

a+b

，只须证2b²=a²+c²．因为a²，b²，c²成等差数列，所以2b²=a²+c²成立，由此能证明b+c，c+a，a+b成调和数列．
（2）Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，所以S2k=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2 k

＞1+

k

2

，对于任一给定的N，欲使S_n＞N，只须1+

k

2

＞N，即k＞2（N-1），由此能够证明当n＞m时，S_n＞N．

解答：证明：（1）欲证b+c，c+a，a+b成调和数列，
只须证

2

c+a

=

1

b+c

+

1

a+b

只须证2（b+c）（a+b）=（c+a）（a+b）+（c+a）（b+c）
化简后，只须证2b²=a²+c²
因为a²，b²，c²成等差数列，所以2b²=a²+c²成立
所以b+c，c+a，a+b成调和数列
（2）Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴S2k=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2k   ＞1+ 1 2 +( 1 4 + 1 4 )+( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 )   +…+( 1 2k + 1 2k + …+ 1 2k )  = 1+ 1 2 + 1 2 +…+ 1 2 =1+ k 2

对于任一给定的N，欲使S_n＞N，
只须1+

k

2

＞N，
即k＞2（N-1），
取m=[2^2（N-1）]+1（其中[2^2（N-1）]表示2^2（N-1）的整数部分），
则当n＞m时，S_n＞N．
（本题解法和答案不唯一）

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．