Question

 (12分)如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点,平面ABC

（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；

（Ⅱ）求二面角A－A₁D－B的余弦值；

（Ⅲ）求点C到平面A₁BD的距离.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析（2）二面角的余弦值为．（3）．

【解析】

试题分析：(1)证明线面垂直，根据其判定定理，只须证明AB₁垂直这个面内的两条相交直线即可，本小题显然应证：.

(2)利用空间向量法求二面角，先求出二面角两个面的法向量，然后再利用求解即可.

(3)利用空间向量法点C到平面的距离根据来解即可.

（1）取中点，连结．  为正三角形，．

在正三棱柱中，   平面平面，平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

，，

，．  平面．

（2）设平面的法向量为．

，．，，

令得

由（1）知平面，为平面的法向量．

    二面角的余弦值为．

（3）由（2），为平面法向量，   ．

    点到平面的距离．

考点：空间向量法证明线面垂直，求二面角，点到直线的距离，线面垂直的判定定理.

点评：掌握线线、线面、面面的平行与垂直判断与性质是解决此类问题的前提.