题目内容

下列不等式
①已知a＞0，b＞0，则（a+b）(
1
a
+
1
b
)≥4；
②a2+b2+3＞2a+2b；
③已知m＞0，则
b
a
＜
b+m
a+m
；
④
3
+
7
＜2
5
．
其中恒成立的是
 
．（把所有成立不等式的序号都填上）
分析：①乘积展开，利用基本不等式判断正误；②直接利用基本不等式判断即可；③利用化学溶液浓度判断正误；④利用分析法证明即可．
解答：解：①已知a＞0，b＞0，则（a+b）(
1
a
+
1
b
)≥4；因为(a+b)(
1
a
+
1
b
)=2+
b
a
+
a
b
≥4，所以正确；
②a2+b2+3＞2a+2b；因为a2+b2+1+1+1≥2a+2b+1＞2a+2b；正确；
③已知m＞0，则
b
a
＜
b+m
a+m
；化学溶液浓度可知在溶液中再加入溶质，浓度变大，正确；
④
3
+
7
＜2
5
．因为
21
＜5所以3+7+2
21
＜4×5即：
3
+
7
＜2
5
正确；
故答案为：①②③④
点评：本题是基础题，考查基本不等式的应用，分析法证明问题的思想，常考题型．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
x
x2+1
．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈(-
3
4
，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(
1
3
，
3
10
)处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(-
3
4
，+∞)，且a+b+c=1，证明：
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
≤
9
10
”；
（4）已知a1，a2，…，an是正数，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的证明猜想
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）

已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，α、β为方程f(x)＝x的两根，且0＜α＜β＜，0＜x＜a，给出下列不等式：

①x＜f(x)　②a＜f(x)　③x＞f(x)　④a＞f(x)

其中成立的是

[　　]

A．①④
B．②③
C．①②
D．③④

有下列命题：

①已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空实数解集．

②当2m－1＞0时，如果＞0，那么m＞－4．

③若a，b是整数，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两整数根．

④若a、b都不是整数，则方程x2＋ax＋b＝0无两整数根．

⑤当2m－1＞0时，如果m≤－4，则≤0．

⑥已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空实数解，则a2－4b≥0．

⑦若方程x2＋ax＋b＝0没有两整数根，则a不是整数或b不是整数．

⑧已知a、b为实数，若a2－4b＜0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0的解集为空集．

⑨当2m－1＞0时，如果m＞－4，则＞0．

用序号表示上述命题间的关系（例（1）与（9）互为逆否命题）：其中（1）___________是互为逆命题；（2）___________互为否命题；（3）___________互为逆否命题
有下列命题：

①已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空实数解集．

②当2m－1＞0时，如果＞0，那么m＞－4．

③若a，b是整数，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两整数根．

④若a、b都不是整数，则方程x2＋ax＋b＝0无两整数根．

⑤当2m－1＞0时，如果m≤－4，则≤0．

⑥已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空实数解，则a2－4b≥0．

⑦若方程x2＋ax＋b＝0没有两整数根，则a不是整数或b不是整数．

⑧已知a、b为实数，若a2－4b＜0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0的解集为空集．

⑨当2m－1＞0时，如果m＞－4，则＞0．

用序号表示上述命题间的关系（例（1）与（9）互为逆否命题）：其中（1）___________是互为逆命题；（2）___________互为否命题；（3）___________互为逆否命题
已知函数．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当时，证明函数y=f（x）图象在点处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知，且a+b+c=1，证明：”；
（4）已知a1，a2，…，an是正数，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的证明猜想的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）

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