题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）若f（x）在 $数学公式$ 处取得极值，求m的值；
（2）若以函数 $数学公式$ 图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率 $数学公式$ 恒成立，求正实数m的最小值；

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ ．
∴f′（x）= $\text{[math]}$
∵f（x）在 $\text{[math]}$ 处取得极值，
∴ $\text{[math]}$
∴m=3
（2）根据题意：F（x）=ln（2+mx）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 恒成立，
转化为：m $\text{[math]}$ 恒成立
∴m≥ $\text{[math]}$
∴正实数m的最小值是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由函数 $\text{[math]}$ ，可求得f′（x）= $\text{[math]}$ ，再由f（x）在 $\text{[math]}$ 处取得极值，建立 $\text{[math]}$ ，求解m．
（2）根据题意：F（x）=ln（2+mx），则有∴ $\text{[math]}$ ，x∈（0，3）恒成立，转化为：m $\text{[math]}$ ，x∈（0，3）恒成立，只要求得 $\text{[math]}$ 最大值即可．
点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了不等式恒成立问题和函数最值的求法．

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