Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
（1）对于任意x∈（0，1），总有f（x）＞0；
（2）f（1）=1；
（3）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）；
（Ⅰ）证明f（x）在[0，1]上为增函数；
（Ⅱ）若对于任意x∈[0，1]，总有4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）比较f(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)与1的大小，并给与证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设0≤x₁＜x₂≤1，由f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），结合对于任意x∈（0，1），总有f（x）＞0及函数单调性的定义，可判断f（x）在[0，1]上为增函数；
（Ⅱ）由（I）中函数的单调性，可得f（x）≤f（1）=1，进而分f（x）=1，和f（x）＜1两种情况讨论实数a的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数a的取值范围．
（Ⅲ）S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，利用错位相减法，可求出S_n的表达式，判断出S_n与1的大小，进而结合（I）中所得函数的单调性得到结论．

解答：证明：（Ⅰ）设0≤x₁＜x₂≤1，则x₂-x₁∈（0，1）
∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）在[0，1]上是单调递增的
解：（Ⅱ）因f（x）在x∈[0，1]上是增函数，则f（x）≤f（1）=1⇒1-f（x）≥0，
当f（x）≤f（1）=1时，容易验证不等式成立；
当f（x）＜1时，则
4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0⇒a≤

4f2(x)-8f(x)+5

4-4f(x)

对x∈[0，1]恒成立，
设y=

4f2(x)-8f(x)+5

4-4f(x)

=1-f(x)+

1

4[1-f(x)]

≥1，从而则a≤1
综上，所求为a∈（-∞，1]；
（Ⅲ）令S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

----------①，
则

1

2

Sn=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+2

--------------②，
由①-②得，

1

2

Sn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

，即，S_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

＜1
所以f(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)＜f(1)=1．

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性与证明，函数恒成立问题，不等式比较大小，是函数，不等式与数列的综合应用，难度较大．